Matematika

Permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.

 abcd  abdc  acbd  acdb  adbc  adcb
 bacd  badc  bcad  bcda  bdac  bdca
 cabd  cadb  cbad  cbda  cdab  cdba
 dabc  dacb  dbac  dbca  dcab  dcba

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

 Kartu            Kotak kosong
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

• Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.
• Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

   -----------      ---------------
   a  *  c  d       [b] [ ] [ ] [ ]
                         ^ 3 pilihan: a, c, d
  

  • Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

   Kartu            Kotak
   -----------      ---------------
   a  *  c  *       [b] [d] [ ] [ ]
                             ^ 2 pilihan: a, c
  

  • Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

   Kartu            Kotak
   -----------      ---------------
   a  *  *  *       [b] [d] [c] [ ]
                                 ^ 1 pilihan: a
  

  • Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

   Kartu            Kotak
   -----------      ---------------
   *  *  *  *       [b] [d] [c] [a]
  

  Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak ${\displaystyle n!}$.

  Bilangan Inversi

• Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

• Posisi	Unsur	Bilangan
  0	d	3	Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.
  1	a	0	Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.
  2	c	1	Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.
  3	f	2	Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan d.
  4	g	2	Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.
  5	e	1	Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.
  6	b	0	Tidak ada huruf setelah b.Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

  Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

  FaktoradikBarisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:

  ${\displaystyle a_{i}\in N}$

  dan

  ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq i}$

  Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.

  Membangkitkan Permutasi

  Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:
  Diberikan sebuah untai S, tentukan:
  • Semua permutasi dari S
  • Semua permutasi n-elemen dari S
  • Permutasi berikutnya setelah S
  • Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

  Jenis-jenis Permutasi Lainnya

  Permutasi-k dari n benda

  Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:

   ab  ac  ad
   ba  bc  bd
   ca  cb  cd
   da  db  dc
  

  Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:

   abc  abd  acb  acd  adb  adc
   bac  bca  bad  bda  bcd  bdc
   cab  cba  cad  cda  cbd  cdb
   dab  dba  dac  dca  dbc  dcb
  

  Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

  ${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

  Permutasi dengan elemen yang identik

  Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:

   aabc  aacb  abac  abca
   acab  acba  baac  baca
   bcaa  caab  caba  cbaa
  

  Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a₀ dan a₁:

     a0a1bc  a1a0bc  =  aabc
     a0a1cb  a1a0cb  =  aacb
     a0ba1c  a1ba0c  =  abac
     a0bca1  a1bca0  =  abca
     a0ca1b  a1ca0b  =  acab
     a0cba1  a1cba0  =  acba
     ba0a1c  ba1a0c  =  baac
     ba0ca1  ba1ca0  =  baca
     bca0a1  bca1a0  =  bcaa
     ca0a1b  ca1a0b  =  caab
     ca0ba1  ca1ba0  =  caba
     cba0a1  cba1a0  =  cbaa
  

  Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a₀ dan a₁ yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena aterdiri dari 2 unsur: a₀ dan a₁). Dengan demikian jika dianggap a₀ = a₁ maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:
  Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

  ${\displaystyle {\frac {n!}{k!}}}$

  Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k₁, k₂, ..., k_m, maka:

  ${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!...k_{m}!}}}$

  atau

  ${\displaystyle {\frac {n!}{\prod _{i=1}^{m}{k_{i}!}}}}$

  Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

  ${\displaystyle {\frac {16!}{5!2!3!6!}}=20180160}$

  Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga

  ${\displaystyle {\frac {4!}{1!1!1!1!}}=4!}$

  Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.

  Permutasi siklis

  Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

      h  a    
    g      b  
    f      c  
      e  d    
  

  Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:

   abcdefgh
   bcdefgha
   cdefghab
   defghabc
   efghabcd
   fghabcde
   ghabcdef
   habcdefg
  

  Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

   a bcdefgh
     --------
     ^ bagian yang dipermutasikan
  

  Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak ${\displaystyle (n-1)!}$.

Read More

Ini sejarah gelap di balik alasan jendela pesawat berbentuk bulat

Ketika Anda naik pesawat, tentu bentuk jendela pesawat tak begitu menarik perhatian Anda bukan. Yap, tak ada yang protes mengapa jendela pesawat berbentuk bulat. Namun hal ini bukanlah pilihan berdasarkan keindahan bentuk. Ada alasan penting dibalik bentuk tersebut.

Ternyata, bentuk jendela pesawat dapat membantu pesawat tetap terbang. Sayangnya, pengetahuan ini didapatkan melalui berbagai kecelakaan pesawat yang serius.

Di awal tahun 50an silam, terdapat sebuah kecelakaan pesawat yang membunuh total 56 orang. Para investigator mengambil kesimpulan bahwa pesawat tersebut jatuh karena pesawat bernama Comet tersebut memiliki jendela berbentuk persegi. Namun masyarakat jadi bertanya-tanya, mengapa hal sesederhana itu bisa berdampak besar?

Akhirnya diketahui bahwa jendela yang berbentuk kotak tak bisa sejalan dengan tekanan yang ada di dalam kabin pesawat. Tekanan kabin dalam pesawat sudah diatur sedemikian rupa agar penumpang tetap nyaman di ketinggian rendah maupun tinggi. Ketika pesawat sudah berada di jalur terbang, tekanan dalam pesawat akan jauh meninggi. Hal ini akan membuat badan pesawat terbang dipaksa untuk 'mengembang' volumenya. Salah satu tekanan juga dibebankan ke jendela.

Nah, jika jendela berbentuk persegi, tekanan tersebut akan terpusat di tiap sudut jendela. Hal ini membuat bagian sudut jendela jadi mudah pecah. Jika jendela berbentuk bundar, jendela akan lebih baik dalam mendistribusikan tekanan.

Akhirnya, setelah melalui sejarah gelap dalam dunia penerbangan, bentuk jendela pesawat terbang hingga sekarang adalah bulat.

Read More

Gelimang harta perampok di Pondok Indah

Perampokan disertai penyanderaan direncanakan di hotel. Dua pelaku Adhi Jhon Suyadi bersama Samadi mendatangi rumah Asep Sulaiman diantar Toyota Fortuner. Tak ada harta benda korban diambil.

Polisi masih mendalami motif kejadian ini. Jika menelusuri ke belakang Adhi bekas sekurity di ExxonMobil Indonesia, tapi hidupnya bergelimang harta. Siapa sebenarnya Adhi? 

Rumahnya di Perumahan Islamic Village Tangerang, Banten, cukup besar berlantai dua. Ditemukan 43 butir peluru tajam. Gilanya lagi senjata api yang ditenteng-tenteng berharga ratusan juta.

"Dia beli dari polisi. Polisi yang menawarkan tetapi Senpi itu milik anggota TNI. Dia beli seharga Rp 140 juta," ujar Kuasa Hukum Adhi, Apolos Djara Bonga.

Menurut Apolos, kliennya datang ke rumah Asep untuk menyelesaikan masalah privasi, bukan merampok. Namun Apolos enggan menyebutkan masalah tersebut. "Orang dia beli senjata api Rp 140 juta sanggup kok, masa merampok," tuturnya.

Mobil Fortuner hitam B 1746 CLP, STNK nya atas nama istri Adhi. Mobil ditemukan terparkir di Giant Palem Semi Kelurahan Panunggangan Barat, Cibodas, Karawaci, Tangerang. 

Setelah ditangkap Adhi sempat berteriak, "Saya pengacara bukan penjahat. Saya akan mengatakan yang sebenarnya," teriak Adhi saat dikawal ketat polisi di Polda Metro Jaya.

Antara Adhi dan Asep memang saling kenal. Asep merupakan mantan Vice President Exploration ExxonMobil, dan sempat lima bulan dikawal Adhi. Istri Adhi pun sempat menghubungi istri Asep saat rumahnya diobok-obok polisi.

Kabid Humas Polda Metro, Kombes Awi Setiyono mengatakan anak buahnya masih kesulitan mendapatkan keterangan karena Adhi sangat tertutup. Awi melanjutkan, apabila tiga orang DPO tertangkap perlahan motif di balik kasus ini bisa terpecahkan.

"Kita harap tertangkap yang tiga bisa buka misteri. Khususnya H-1 mereka kan sempat meeting, kita harus ungkap ini motif apa. Sementara ini AJS aktor intelektual," tandasnya.

Read More