IPS

KONFLIK SOSIAL

Konflik sosial bisa diartikan menjadi 2 hal, yaitu pertama, perspektif yg mempunyai anggapan bahwa konflik selalu  ada  dan  mewarnai di segala aspek interaksi manusia dan struktur sosial. yg kedua, konflik sosial merupakan pertikaian terbuka misalya terjadinya peperangan, revolusi, pemogokan, dan juga termasuk gerakan perlawanan. Menurut KBBI, konflik mempunyai arti percekcokan, perselisihan, pertentangan.

FAKTOR PENYEBAB KONFLIK SOSIAL

a. Perbedaan Individu 
Perbedaan  individu,  yang  meliputi  perbedaan  pendirian  dan  perasaan.  Setiap manusia adalah individu yg unik. Artinya, setiap orang memiliki pendirian dan perasaan yang  berbeda-beda  satu dengan  lainnya.  Perbedaan  pendirian  dan  perasaan  akan  sesuatu hal  atau  lingkungan  yg nyata ini  dapat  menjadi  faktor  penyebab  konflik  sosial,  sebab dalam  menjalani  hubungan sosial, seseorang  tidak  selalu  sejalan  dengan  kelompoknya. Misalnya,  ketika  berlangsung pentas musik di  lingkungan  pemukiman,  tentu  perasaan setiap warganya akan berbeda-beda. Ada yg merasa terganggu karena berisik, tetapi ada pula  yang  merasa  terhibur.  Perbedaan  latar  belakang kebudayaan  sehingga  membentuk pribadi-pribadi yg berbeda. Seseorang sedikit banyak akan terpengaruh dgn pola-pola pemikiran  dan  pendirian  kelompoknya.  Pemikiran  dan  pendirian yang berbeda  itu  pd akhirnya  akan  menghasilkan  perbedaan  individu  yang  dapat  memicu konflik. Perbedaan kepentingan antara individu atau kelompok.

b. Perbedaan Latar Belakang Kebudayaan dan Kepentingan
Manusia  memiliki  perasaan,  pendirian  maupun  latar  belakang  kebudayaan  yg berbeda. Oleh sebab itu, dalam waktu yg bersamaan, masing-masing   orang atau kelompok   memiliki kepentingan yang   berbeda-beda. Kadang-kadang   orang   dapat melakukan  hal  yang  sama, tetapi  untuk tujuan yang  berbeda-beda.  Sebagai  contoh, misalnya  perbedaan  kepentingan  dalam hal  pemanfaatan hutan.  Para  tokoh  masyarakat menanggap hutan sebagai kekayaan budaya yg menjadi bagian dari kebudayaan mereka sehingga harus dijaga dan tdk boleh ditebang. Para petani menbang pohon-pohon karena dianggap  sebagai  penghalang  bagi  mereka  untuk  membuat  kebun atau  ladang.  Bagi  para pengusaha    kayu, pohon-pohon ditebang    dan    kemudian    kayunya diekspor guna mendapatkan uang  dan  membuka  pekerjaan. Sedangkan  bagi  pecinta lingkungan,  hutan adalah  bagian  dari lingkungan  sehingga  harus  dilestarikan.  Di  sini  jelas terlihat  ada perbedaan  kepentingan  antara satu  kelompok  dengan  kelompok  lainnya  sehingga akan mendatangkan  konflik  sosial  di masyarakat.  Konflik  akibat  perbedaan  kepentingan  ini dapat  pula  menyangkut  bidang  politik, ekonomi,  sosial,  dan  budaya.  Begitu  pula  dapat terjadi antar  kelompok  atau  antara  kelompok dengan  individu,  misalnya  konflik  antara kelompok buruh  dengan  pengusaha  yang  terjadi karena  perbedaan  kepentingan  di  antara keduanya.

c. Perubahan-Perubahan Nilai yg Cepat
Perubahan-perubahan   nilai   yang   cepat   dan mendadak   dalam   masyarakat. Perubahan   adalah sesuatu   yang   lazim   dan   wajar   terjadi,   tetapi   jika   perubahan   itu berlangsung  cepat  atau bahkan  mendadak,  perubahan  tersebut  dapat  memicu  terjadinya konflik sosial. Misalnya, pd masyarakat pedesaan yg mengalami proses industrialisasi yg mendadak  akan memunculkan konflik sosial sebab nilai-nilai lama pd masyarakat tradisional  yang  biasanya  bercorak  pertanian secara  cepat  berubah  menjadi  nilai-nilai masyarakat  industri.  Nilai-nilai  yang  berubah  itu seperti  nilai  kegotongroyongan  berganti menjadi  nilai  kontrak  kerja  dengan  upah  yg disesuaikan  menurut  jenis  pekerjaannya.

Hubungan   kekerabatan   bergeser   menjadi   hubungan   struktural   yang   disusun   dalam organisasi  formal  perusahaan.  Nilai-nilai  kebersamaan  berubah  menjadi  individualis  dan nilai-nilai   tentang   pemanfaatan   waktu   yang   cenderung   tidak   ketat   berubah   menjadi pembagian  waktu  yang  tegas  seperti  jadwal  kerja  dan  istirahat  dalam  dunia  industri.

Perubahan-perubahan   ini,   jika   terjadi   seara   cepat   atau   mendadak, akan membuat kegoncangan  proses-proses  sosial  di  masyarakat,  bahkan  akan  terjadi  upaya  penolakan terhadap  semua  bentuk  perubahan  karena  dianggap  mengacaukan  tatanan  kehiodupan masyarakat yg telah ada.

Menurut Loepold von Wiese dan Howard Becker, secara umum ada 4 faktor utama penyebab terjadinya konflik, yaitu:

1. Perbedaan individual
2. Perbedaan kebudayaan
3. Perbedaan kepentingan
4. Perubahan sosial

Sementara menurut teori konflik, penyebab utama terjadinya konflik sosial adalah adanya perbedaan atau ketimpangan hubungan-hubungan kekuasaan dalam masyarakat yg memunculkan diferensiasi kepentingan. Untuk lebih detailnya,faktor-faktor penyebab konflik menurut teori ini yaitu:

• Adanya pandangan bahwa konflik merupakan cara utk mewujudkan kepentingan.
• Sedikitnya saluran utk menampung keluhan-keluhan masyarakat kelas bawah serta lambatnya mobilitas sosial ke atas.
• Melemahnya kekuasaan negara yg disertai dgn mobilisasi masyarakat bawah dan/atau elit.
• Kelompok masyarakat kelas bawah menerima ideologi radikal.
• Ketidakmerataan distribusi sumber-sumber daya yg terbatas dalam masyarakat.
• Ditariknya kembali legitimasi penguasa politik oleh masyarakat kelas bawah.

FUNGSI DAN DAMPAK KONFLIK SOSIAL

Dampak dari sebuah konflik adalah sebagai berikut :

1. Meningkatkan solidaritas sesama anggota kelompok (ingroup) yg mengalami konflik dgn kelompok lain.
2. Dominasi bahkan penaklukan salah satu pihak yg terlibat dalam konflik.
3. Keretakan hubungan antar kelompok yg bertikai.
4. Perubahan  kepribadian  pada  individu,  misalnya  timbulnya  rasa  dendam,  benci,  dan saling curiga
5. Kerusakan harta benda dan hilangnya jiwa manusia.

Segi positif suatu konflik adalah sebagai berikut.

• Memperjelas aspek-aspek kehidupan yg belum jelas atau masih belum tuntas ditelaah, misalnya perbedaan pendapat akan sesuatu permasalahan dalam suatu diskusi atau seminar biasanya bersifat positif sebab akan semakin memperjelas dan mempertajam kesimpulan yg diperoleh dari diskusi atau seminar.
• Dapat berfungsi sebagai sarana utk mencapai keseimbangan antara kekuatan-kekuatan dalam masyarakat.
• Merupakan jalan utk mengurangi ketergantungan antar individu dan kelompok.
• Dapat membantu menghidupkan kembali norma-norma lama dan menciptakan norma-norma baru.
• Memungkinkan adanya penyesuaian kembali norma-norma dan nilai-nilai serta hubungan-hubungan social dalam kelompok bersangkutan sesuai dengan kebutuhan individu atau kelompok.

 Akibat-akibat dari suatu konflik sosial adalah sebagi berikut :

1. Meningkatkan solidaritas sesama anggota kelompok (in group solidarity) yg sedang mengalami konflik dgn kelompok lain.
2. Akomodasi, dominasi, bahkan penaklukan salah satu pihak yang terlibat dalam pertikaian.
3. Keretakan hubungan antarindividu atau kelompok, misalnya keretakan hubungan antarkelompok dalam Negara Israel akibat konflik dgn bangsa palestina dan Negara-negara arab lainnya.
4. Perubahan  kepribadian  para  individu,  misalnya  terjadinya  perang  antarkelompok  yg menimbulkan kebencian, saling curiga, beringas dan lain-lain.
5. Kerusakan harta benda dan bahkan hilangannya nyawa manusia.

Suatu masyarakat bisa dinyatakan telah mencapai kondisi tertib apabila terjadi keselarasan antara tindakan anggota masyarakat dgn nilai dan norma yg berlaku dalam masyarakat tersebut. Tertib sosial dapat ditandai oleh 3 hal berikut ini.

1. Terdapat suatu sistem nilai dan norma yg jelas.
2. Individu atau kelompok di dalam masyarakat mengetahui dan memahami norma-norma sosial dan nilai-nilai sosial yg berlaku.
3. individu  atau kelompok  dalam  masyarakat  menyesuaikan  tindakan-tindakannya  dgn norma-norma  sosial  dan  nilai-nilai  sosial  yang  berlaku.  Misalnya,  tertib  di  jalan  raya atau  tertib  antri  di  loket-loket  pelayanan  umum  akan  dapat  tercapai  apabila terdapataturan-aturan  dan  norma  yang  jelas  dan  setiap  pengendara,  penumpang,  dan pemakai jasa  layanan  umum  harus  memahami  serta  menyesuaikan  tindakan-tindakan mereka dgn norma-norma sosial yg berlaku di tempat-tempat tersebut.

Menurut Coser (1956), fungsi positif konflik yaitu:

1. Konflik akan meningkatkan solidaritas sebuah kelompok yg kurang kompak.
2. Konflik juga memiliki fungsi komunikasi.
3. Konflik dgn kelompok tertentu akan melahirkan kohesi dgn kelompok lainnya dalam bentuk aliansi. Misalnya, konflik antara Perancis dgn Amerika Serikat tentang serangan ke Irak memunculkan kohesi yg lebih solid antara Perancis dan Jerman.
4. Konflik di dalam masyarakat biasanya akan menggugah warga yg semula pasif utk kemudian memainkan peran tertentu secara lebih aktif.

Sementara itu, menurut Himes (Schaefer & Lamm, 1998), konflik memiliki fungsi sebagai berikut:

1. Secara struktural, konflik dapat mengubah keseimbangan kekuasaan antara kelompok dominan dan kelompok minoritas.
2. Dari sisi komunikasi, konflik meningkatkan perhatian masyarakat terhadap hal yg dipersengketakan dalam konflik, meningkatkan kesediaan media massa utk memberitakannya, memungkinkan masyarakat memperoleh informasi baru, dan mengubah pola komunikasi berkenaan dgn hal tersebut.
3. Dari sisi solidaritas, konflik akan meningkatkan dan memantapkan solidaritas di antara kelompok minoritas.
4. Dari sisi identitas, konflik akan menumbuhkan kesadaran mengenai siapa mereka dan mempertegas batas-batas kelompok.

Walaupun memberikan fungsi positif, tapi dalam kenyataannya konflik sering kali menimbulkan dampak negatif bagi masyarakat. Dengan adanya konflik sosial mengakibatkan terhentinya kerja sama yg sebelumnya terjalin di antara para pihak yg terlibat konflik. Lebih parah lagi, konflik yg diikuti dgn kekerasan sering kali mengakibatkan hancurnya harta benda dan jatuhnya korban manusia.

Sehingga dengan demikian bisa disimpulkan bahwa pd dasarnya ada dua macam konflik, yaitu konflik fungsional dan konflik destruktif. Konflik fungsional adalah konflik yg berdampak positif bagi perkembangan masyarakat. Konflik ini biasanya terjadi tanpa diwarnai kekerasan. Sedangkan konflik destruktif adalah konflik yg merusak kehidupan sosial. Konflik ini umumnya disertai dgn kekerasan sehingga sering disebut sebagai kekerasan sosial.

CARA MENGATASI KONFLIK SOSIAL

Menurut pendekatan konsensus maupun pendekatan konflik, ada empat cara pokok yg umumnya dipakai utk mengelola/mengatasi konflik, yaitu:

1. Paksaan/Koersi

Cara ini dilakukan dgn memaksa para pihak yg bersengketa utk mengadakan perdamaian. Paksaan dilakukan secara psikologis maupun fisik. Cara paksaan ini dilakukan oleh pihak yg kuat terhadap pihak yg lemah. Pihak yg kuat biasanya mengajukan syarat-syarat utk mengakhiri konflik atau syarat-syarat perdamaian yg harus diterima oleh pihak yg lemah.

2. Arbitrasi

Kata arbitrasi berasal dari bahasa Latin arbitrium, yg berarti keputusan wasit (K. Prent, 1969: 61). Arbitrasi merupakan proses utk mengatasi konflik dgn melalui pihak tertentu yaitu arbitrator. Pihak ini dipilih secara bebas oleh pihak yg bersengketa. Arbitrator itulah yg memutuskan penyelesaian konflik tanpa terlalu terikat pd hukum-hukum.

3. Mediasi

Mediasi adalah cara penyelesaian konflik dgn menggunakan pihak ketiga yg memilki hubungan baik dgn para pihak yg berkonflik. Pihak ketiga ini secara aktif terlibat dalam negosiasi dgn para pihak yg berkonflik, serta mengarahkan para pihak yg berkonflik sedemikian rupa sehingga penyelesaian dapat tercapai, meskipun usulan-usulan yg diajukannya tdk terlalu mengikat terhadap para pihak yg berkonflik. Jadi pihak ketiga tersebut melakukan fungsi-fungsi konsultatif secara aktif. Selanjutnya, pihak-pihak yg berkonflik itu sendiri yg mengambil keputusan utk menghentikan konflik.

4. Negosiasi

Negosiasi merupakan cara penyelesaian konflik atas inisiatif pihak-pihak yg berkonflik. Dalam proses ini, kedua pihak yg berkonflik melakukan pembicaraan dalam bentuk tawar-menawar mengenai syarat-syarat mengakhiri konflik.

BENTUK-BENTUK KONFLIK

- Berdasarkan sifatnya

• Konflik destruktif. Adalah konflik yg muncul karena perasaan tdk senang, rasa benci, dan dendam dari seseorang ataupun kelompok terhadap pihak lain.
• Konflik Konstruktif. Adalah konflilk yg muncul karena perbedaan pendapat dari kelompok dalam menghadapi suatu permasalahan.

- Berdasarkan posisi pelaku yg berkonflik

• Konflik vertical adalah konflik antar komponen masyarakat yg di dalam struktur yg memiliki tingkatan.
• Konflilk horisantal adalah konflik yg terjadi antara individu atau kelompok yg memiliki kedudukan yg relative sama.
• Konflik diagonal adalah konflik yg terjadi karena adanya ketidakadilan alokasi sumberdaya ke seluruh organisasi sehingga menimbulkan pertentangan yg ekstrim.

- Berdasarkan sifat pelakunya

• Konflik terbuka adalah konflik yg diketahui semua pihak. Contoh : Konflik Palestina-Israel
• Konflik tertutup adalah konflik yg hanya diketahui oleh orang-orang atau kelompok yg terlibat konflik. Misal : konflik dalam rumah tangga.

JENIS-JENIS KONFLIK

• Konflik Individu. Adalah konflik antara individu satu dgn individu lain. Misal : berkelahi.
• Konflik kelompok. Adalah konflik antara kelompok satu dgn kelompok lain. Misal: tawuran.
• Konflik Internasional. Adalah konflik antara satu Negara dgn Negara lain. Misal : Perang Dunia 1 dan Perang Dunia 2
• Konflik kelas. Adalah konflik antara kelas social satu dgn kelas social lain. Misal : konflik antara buruh dgn Manager.
• Konflik politik. Adalah konflik antar individu atau kelompok utk tujuan politik. Misal : konflik antar Partai Politik.
• Konflik antar suku. Adalah konflik antara suku satu dgn suku lain. Misal : konflik Sampit.
• Konflik antar agama. Adalah konflik antar pemeluk agama satu dgn pemeluk agama yg lain. Misal : perang salib.
• Konflik antargenerasi. Adalah konflik antara generasi satu dgn generasi lain. Misal : konflik pandangan antara generasi muda dgn generasi tua tentang pendidikan seksual di sekolah.
• Konflik Rasial. Adalah konflik antara kelompok satu dgn kelompok lain yg berbeda warna kulit. Misal : penerapan politik Apheirheid menyebabkan konflik ras kulit putih dgn ras kulit hitam.

Read More

Matematika

Permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.

 abcd  abdc  acbd  acdb  adbc  adcb
 bacd  badc  bcad  bcda  bdac  bdca
 cabd  cadb  cbad  cbda  cdab  cdba
 dabc  dacb  dbac  dbca  dcab  dcba

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

 Kartu            Kotak kosong
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

• Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.
• Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

   -----------      ---------------
   a  *  c  d       [b] [ ] [ ] [ ]
                         ^ 3 pilihan: a, c, d
  

  • Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

   Kartu            Kotak
   -----------      ---------------
   a  *  c  *       [b] [d] [ ] [ ]
                             ^ 2 pilihan: a, c
  

  • Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

   Kartu            Kotak
   -----------      ---------------
   a  *  *  *       [b] [d] [c] [ ]
                                 ^ 1 pilihan: a
  

  • Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

   Kartu            Kotak
   -----------      ---------------
   *  *  *  *       [b] [d] [c] [a]
  

  Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak ${\displaystyle n!}$.

  Bilangan Inversi

• Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

• Posisi	Unsur	Bilangan
  0	d	3	Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.
  1	a	0	Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.
  2	c	1	Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.
  3	f	2	Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan d.
  4	g	2	Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.
  5	e	1	Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.
  6	b	0	Tidak ada huruf setelah b.Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

  Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

  FaktoradikBarisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:

  ${\displaystyle a_{i}\in N}$

  dan

  ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq i}$

  Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.

  Membangkitkan Permutasi

  Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:
  Diberikan sebuah untai S, tentukan:
  • Semua permutasi dari S
  • Semua permutasi n-elemen dari S
  • Permutasi berikutnya setelah S
  • Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

  Jenis-jenis Permutasi Lainnya

  Permutasi-k dari n benda

  Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:

   ab  ac  ad
   ba  bc  bd
   ca  cb  cd
   da  db  dc
  

  Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:

   abc  abd  acb  acd  adb  adc
   bac  bca  bad  bda  bcd  bdc
   cab  cba  cad  cda  cbd  cdb
   dab  dba  dac  dca  dbc  dcb
  

  Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

  ${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

  Permutasi dengan elemen yang identik

  Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:

   aabc  aacb  abac  abca
   acab  acba  baac  baca
   bcaa  caab  caba  cbaa
  

  Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a₀ dan a₁:

     a0a1bc  a1a0bc  =  aabc
     a0a1cb  a1a0cb  =  aacb
     a0ba1c  a1ba0c  =  abac
     a0bca1  a1bca0  =  abca
     a0ca1b  a1ca0b  =  acab
     a0cba1  a1cba0  =  acba
     ba0a1c  ba1a0c  =  baac
     ba0ca1  ba1ca0  =  baca
     bca0a1  bca1a0  =  bcaa
     ca0a1b  ca1a0b  =  caab
     ca0ba1  ca1ba0  =  caba
     cba0a1  cba1a0  =  cbaa
  

  Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a₀ dan a₁ yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena aterdiri dari 2 unsur: a₀ dan a₁). Dengan demikian jika dianggap a₀ = a₁ maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:
  Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

  ${\displaystyle {\frac {n!}{k!}}}$

  Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k₁, k₂, ..., k_m, maka:

  ${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!...k_{m}!}}}$

  atau

  ${\displaystyle {\frac {n!}{\prod _{i=1}^{m}{k_{i}!}}}}$

  Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

  ${\displaystyle {\frac {16!}{5!2!3!6!}}=20180160}$

  Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga

  ${\displaystyle {\frac {4!}{1!1!1!1!}}=4!}$

  Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.

  Permutasi siklis

  Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

      h  a    
    g      b  
    f      c  
      e  d    
  

  Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:

   abcdefgh
   bcdefgha
   cdefghab
   defghabc
   efghabcd
   fghabcde
   ghabcdef
   habcdefg
  

  Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

   a bcdefgh
     --------
     ^ bagian yang dipermutasikan
  

  Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak ${\displaystyle (n-1)!}$.

Read More

Matematika

Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

1) Permutasi 
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga 
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri 

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi 
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , 

Contoh :
Diketahui himpunan  .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri 

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian 
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian 
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus : 

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan 
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian 
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian 
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku : 

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan  dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas 
Untuk setiap kejadian berlaku  Jika  . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat 
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika  adalah peluang terjadinya A dan B, maka  Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes 
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini : 

5. Kejadian saling bebas Stokhastik 
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. 
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom 
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan 
Rumus ini dinyatakan sebagai:
 untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan 

P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal

Read More