Matematika

Permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.

 abcd  abdc  acbd  acdb  adbc  adcb
 bacd  badc  bcad  bcda  bdac  bdca
 cabd  cadb  cbad  cbda  cdab  cdba
 dabc  dacb  dbac  dbca  dcab  dcba

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

 Kartu            Kotak kosong
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

• Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.
• Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

   -----------      ---------------
   a  *  c  d       [b] [ ] [ ] [ ]
                         ^ 3 pilihan: a, c, d
  

  • Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

   Kartu            Kotak
   -----------      ---------------
   a  *  c  *       [b] [d] [ ] [ ]
                             ^ 2 pilihan: a, c
  

  • Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

   Kartu            Kotak
   -----------      ---------------
   a  *  *  *       [b] [d] [c] [ ]
                                 ^ 1 pilihan: a
  

  • Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

   Kartu            Kotak
   -----------      ---------------
   *  *  *  *       [b] [d] [c] [a]
  

  Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak ${\displaystyle n!}$.

  Bilangan Inversi

• Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

• Posisi	Unsur	Bilangan
  0	d	3	Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.
  1	a	0	Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.
  2	c	1	Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.
  3	f	2	Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan d.
  4	g	2	Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.
  5	e	1	Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.
  6	b	0	Tidak ada huruf setelah b.Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

  Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

  FaktoradikBarisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:

  ${\displaystyle a_{i}\in N}$

  dan

  ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq i}$

  Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.

  Membangkitkan Permutasi

  Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:
  Diberikan sebuah untai S, tentukan:
  • Semua permutasi dari S
  • Semua permutasi n-elemen dari S
  • Permutasi berikutnya setelah S
  • Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

  Jenis-jenis Permutasi Lainnya

  Permutasi-k dari n benda

  Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:

   ab  ac  ad
   ba  bc  bd
   ca  cb  cd
   da  db  dc
  

  Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:

   abc  abd  acb  acd  adb  adc
   bac  bca  bad  bda  bcd  bdc
   cab  cba  cad  cda  cbd  cdb
   dab  dba  dac  dca  dbc  dcb
  

  Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

  ${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

  Permutasi dengan elemen yang identik

  Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:

   aabc  aacb  abac  abca
   acab  acba  baac  baca
   bcaa  caab  caba  cbaa
  

  Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a₀ dan a₁:

     a0a1bc  a1a0bc  =  aabc
     a0a1cb  a1a0cb  =  aacb
     a0ba1c  a1ba0c  =  abac
     a0bca1  a1bca0  =  abca
     a0ca1b  a1ca0b  =  acab
     a0cba1  a1cba0  =  acba
     ba0a1c  ba1a0c  =  baac
     ba0ca1  ba1ca0  =  baca
     bca0a1  bca1a0  =  bcaa
     ca0a1b  ca1a0b  =  caab
     ca0ba1  ca1ba0  =  caba
     cba0a1  cba1a0  =  cbaa
  

  Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a₀ dan a₁ yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena aterdiri dari 2 unsur: a₀ dan a₁). Dengan demikian jika dianggap a₀ = a₁ maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:
  Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

  ${\displaystyle {\frac {n!}{k!}}}$

  Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k₁, k₂, ..., k_m, maka:

  ${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!...k_{m}!}}}$

  atau

  ${\displaystyle {\frac {n!}{\prod _{i=1}^{m}{k_{i}!}}}}$

  Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

  ${\displaystyle {\frac {16!}{5!2!3!6!}}=20180160}$

  Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga

  ${\displaystyle {\frac {4!}{1!1!1!1!}}=4!}$

  Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.

  Permutasi siklis

  Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

      h  a    
    g      b  
    f      c  
      e  d    
  

  Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:

   abcdefgh
   bcdefgha
   cdefghab
   defghabc
   efghabcd
   fghabcde
   ghabcdef
   habcdefg
  

  Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

   a bcdefgh
     --------
     ^ bagian yang dipermutasikan
  

  Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak ${\displaystyle (n-1)!}$.

Read More

Ini sejarah gelap di balik alasan jendela pesawat berbentuk bulat

Ketika Anda naik pesawat, tentu bentuk jendela pesawat tak begitu menarik perhatian Anda bukan. Yap, tak ada yang protes mengapa jendela pesawat berbentuk bulat. Namun hal ini bukanlah pilihan berdasarkan keindahan bentuk. Ada alasan penting dibalik bentuk tersebut.

Ternyata, bentuk jendela pesawat dapat membantu pesawat tetap terbang. Sayangnya, pengetahuan ini didapatkan melalui berbagai kecelakaan pesawat yang serius.

Di awal tahun 50an silam, terdapat sebuah kecelakaan pesawat yang membunuh total 56 orang. Para investigator mengambil kesimpulan bahwa pesawat tersebut jatuh karena pesawat bernama Comet tersebut memiliki jendela berbentuk persegi. Namun masyarakat jadi bertanya-tanya, mengapa hal sesederhana itu bisa berdampak besar?

Akhirnya diketahui bahwa jendela yang berbentuk kotak tak bisa sejalan dengan tekanan yang ada di dalam kabin pesawat. Tekanan kabin dalam pesawat sudah diatur sedemikian rupa agar penumpang tetap nyaman di ketinggian rendah maupun tinggi. Ketika pesawat sudah berada di jalur terbang, tekanan dalam pesawat akan jauh meninggi. Hal ini akan membuat badan pesawat terbang dipaksa untuk 'mengembang' volumenya. Salah satu tekanan juga dibebankan ke jendela.

Nah, jika jendela berbentuk persegi, tekanan tersebut akan terpusat di tiap sudut jendela. Hal ini membuat bagian sudut jendela jadi mudah pecah. Jika jendela berbentuk bundar, jendela akan lebih baik dalam mendistribusikan tekanan.

Akhirnya, setelah melalui sejarah gelap dalam dunia penerbangan, bentuk jendela pesawat terbang hingga sekarang adalah bulat.

Read More

Gelimang harta perampok di Pondok Indah

Perampokan disertai penyanderaan direncanakan di hotel. Dua pelaku Adhi Jhon Suyadi bersama Samadi mendatangi rumah Asep Sulaiman diantar Toyota Fortuner. Tak ada harta benda korban diambil.

Polisi masih mendalami motif kejadian ini. Jika menelusuri ke belakang Adhi bekas sekurity di ExxonMobil Indonesia, tapi hidupnya bergelimang harta. Siapa sebenarnya Adhi? 

Rumahnya di Perumahan Islamic Village Tangerang, Banten, cukup besar berlantai dua. Ditemukan 43 butir peluru tajam. Gilanya lagi senjata api yang ditenteng-tenteng berharga ratusan juta.

"Dia beli dari polisi. Polisi yang menawarkan tetapi Senpi itu milik anggota TNI. Dia beli seharga Rp 140 juta," ujar Kuasa Hukum Adhi, Apolos Djara Bonga.

Menurut Apolos, kliennya datang ke rumah Asep untuk menyelesaikan masalah privasi, bukan merampok. Namun Apolos enggan menyebutkan masalah tersebut. "Orang dia beli senjata api Rp 140 juta sanggup kok, masa merampok," tuturnya.

Mobil Fortuner hitam B 1746 CLP, STNK nya atas nama istri Adhi. Mobil ditemukan terparkir di Giant Palem Semi Kelurahan Panunggangan Barat, Cibodas, Karawaci, Tangerang. 

Setelah ditangkap Adhi sempat berteriak, "Saya pengacara bukan penjahat. Saya akan mengatakan yang sebenarnya," teriak Adhi saat dikawal ketat polisi di Polda Metro Jaya.

Antara Adhi dan Asep memang saling kenal. Asep merupakan mantan Vice President Exploration ExxonMobil, dan sempat lima bulan dikawal Adhi. Istri Adhi pun sempat menghubungi istri Asep saat rumahnya diobok-obok polisi.

Kabid Humas Polda Metro, Kombes Awi Setiyono mengatakan anak buahnya masih kesulitan mendapatkan keterangan karena Adhi sangat tertutup. Awi melanjutkan, apabila tiga orang DPO tertangkap perlahan motif di balik kasus ini bisa terpecahkan.

"Kita harap tertangkap yang tiga bisa buka misteri. Khususnya H-1 mereka kan sempat meeting, kita harus ungkap ini motif apa. Sementara ini AJS aktor intelektual," tandasnya.

Read More

Artis anggota dewan bersuara dalam diam

"Saya masih di Jawa Timur," tulis anggota Komisi X DPR Anang Hermansyah melalui pesan pendek ketika dihubungi, Senin (29/8) lalu.

Tak ada lagi komunikasi setelah itu selain muncul komentarnya di media. Politisi Partai Amanat Nasional (PAN) ini mengaku setuju dengan adanya usulan pemerintah.

"Saya setuju aturan tersebut berlaku untuk seluruhnya," katanya kepada media diJakarta, Rabu (24/8).

Wacana pengetatan syarat menjadi caleg DPR 2019 dalam Rancangan Undang-Undang Pemilu 2016 ini mendadak ramai. Pemerintah menggagas ide agar artis, pengusaha dan figur publik harus menjadi anggota parpol sekarang-kurangnya satu tahun sebelum mencalonkan diri sebagai caleg.

Selain bermaksud meningkatkan kualitas orang-orang di Senayan, tujuan pengetatan syarat ini tak lain agar mereka tidak tiba-tiba muncul begitu pemilu tiba. Artis dan pengusaha dinilai paling gampang meraup suara berkat popularitas namun terkesan diam dan kerap tampil di layar televisi.

"Karena dia artis atau punya duit atau apalah. Minimal satu tahun jadi anggota partai," kata Dani Syarifudin Nawawi, Tim Pakar Pemerintah dalam Menyusun Rancangan Undang-Undang Pemilu di Jakarta, Minggu (21/8) lalu.

Dalam pemilihan anggota dewan 2014-2019, 39 artis ikut bertarung. Dari jumlah ini, 15 orang berhasil melenggang ke Senayan (DPR) dan tiga menjadi anggota Dewan Perwakilan Daerah (DPD).

Syarat yang diskriminatif

Anggota Komisi I DPR Tantowi Yahya mengkritik keras usulan pemerintah itu. Penyanyi lagu country ini menilai peningkatan kualitas anggota dewan harus melalui partai politik dengan pola perekrutan yang benar. Sebab, menurut dia, parpol adalah pintu masuk bagi hadirnya caleg dan anggota dewan yang berkualitas.

"Merekrut artis boleh-boleh saja selama yang bersangkutan dapat dipertanggungjawabkan komitmen, integritas dan kualitasnya," tegas Ketua DPP Bidang Kebudayaan Partai Golkar ini.

Tantowi mengatakan pengetatan syarat adalah suatu perlakuan yang diskriminatif bagi artis yang hendak maju sebagai anggota dewan ke depannya. Dari pengalaman selama ini, kata Tantowi, kinerja anggota DPR dari semua latar belakang profesi dan disiplin ilmu tidak berbeda secara signifikan.

"Ya samalah dengan anggota dewan yang berasal dari profesi lain. Ada yang aktif, ada pula yang tidak. Ada yang bunyi, ada yang membisu. Ada yang nonjol, ada juga yang milih low profile," tukas dia.

Ungkapan senada keluar dari mulut anggota Komisi I DPR Rachel Maryam Sayidina. Wakil sekretaris jenderal Partai Gerindra ini mengatakan penerapan aturan dalam RUU itu tidak bisa dijalankan hanya karena latar belakang keartisan dan seberapa populernya seseorang.

Menurut dia, artis dipilih seharusnya karena dinilai mampu oleh masyarakat dan bukan karena sekadar popularitasnya. Jika artis itu kemudian menjadi anggota dewan dan tidak mampu menunjukkan kinerja yang baik maka masyarakat sendirilah yang menilai.

"Kalau mereka memilih karena popularitas atau uang, dan ternyata yang dipilihnya tidak bisa menyuarakan aspirasi mereka, mereka sendiri yang akan merasakan dampaknya," jelas artis yang membintangi sejumlah film ini.

Kualitas di angka lima

Peneliti Forum Masyarakat Peduli Parlemen (Formappi) Lucius Karus menilai tidak ada perbedaan secara signifikan antara anggota dewan dari kalangan artis dan latar belakang lainnya di Senayan. Sebab standar kualitas anggota dewan harus dilihat dalam tiga fungsi pokok mereka yakni legislasi, anggaran dan pengawasan.

Dari tiga fungsi utama ini, DPR secara umum belum memperoleh hasil yang memuaskan. "Target 50 UU tahun 2016 hanya empat yang jadi," kata Lucius di kediamannya di Jakarta, Senin malam.

Namun dari kajian Formappi selama ini, beberapa anggota dewan dari kalangan artis kerap tampil di layar kaca. Hal itu, menurut dia mengindikasikan sesuatu hal yang bertentangan dengan prinsip etis jabatan.

"Tidak diatur dalam UU tapi ada prinsip etis di dalamnya harus ditaati, bagaimana bertanggungjawab kepada pemilih," tegas pria asal Manggarai, Flores ini.

"Nah, ini kemudian menjadi sorotan karena satu dua orang yang melakukan jadi semua terbawa penilaian," sambung Lucius.

Secara singkat Lucius menilai kinerja anggota dewan dari kalangan artis belum bisa dikatakan memuaskan. Meski ada di antara mereka yang begitu aktif namun kecenderungan pasif hampir menjadi warna umum.

"Kalau penilaian satu sampai sepuluh, saya beri lima. Karena banyak yang tidak aktif, entahkah bersuara dalam diam, kita tidak tahu," jelasnya.

Read More

Bahasa Indonesia

PIDATO

Pentingnya Pendidikan Bagi Pelajar Sekolah

Assalamu Alaikum Wr. Wb.

Yth. Ibu guru dan teman-teman yang saya banggakan

Pertama-tama marilah kita panjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT . Atas berkat rahmat dan hidayah-Nya lah sehingga kita dapat berkumpul di ruangan ini dalam keadaan sehat wal-afiat. Saya berterima kasih kepada Ibu guru dan teman-teman yang telah memberikan kesempatan yang baik ini bagi saya. Pada kesempatan ini, saya akan menyampaikan pidato singkat mengenai betapa Pentingnya pendidikan bagi kita, sehingga teman-teman sadar bahwa pendidikan begitu penting.

Sebelum membahas mengenai pendidikan, marilah kita melihat kembali manfaat yang kita peroleh dari pendidikan itu sendiri. Dengan pendidikan yang tinggi, kita dapat meraih cita-cita setinggi bintang. Dengan pendidikan pula kita dapat membiayai hidup ini yang tidak semurah kita membeli sebutir permen di toko. Begitu besar manfaat yang kita peroleh bagi hidup kita melalui pendidikan yang kita capai.Dengan pendidikan pula, kita dapat membangun Negara kita ini yang masih jauh dari sempurna. Membangun Negara yang bersifat berkembang menjadi Negara yang bersifat maju. Oleh karena itu teman-teman yang saya banggakan, janganlah kita malas dalam mencari ilmu itu.

Banyak dari kita yang memperoleh fasilitas sekolah yang paling baik dan lengkap. Contohnya saja,mandi pagi dengan air hangat, banyak teman-teman yang pergi ke sekolah dengan menggunakan baik kendaraan bermotor maupun kendaraan roda empat yang kita kenal dengan mobil dan juga fasilitas lengkap berupa buku paket yang di berikan secara gratis. Guru yang tersedia pun melampaui batas kecukupan.Semua kalian miliki dengan mudahnya di sekolah ini. Tetapi sangat sulit membangun semangat belajar yang tinggi. Contohnya saja, malas bangun pagi saat harus berangkat ke sekolah. Apa lagi, ada yang tidur ataupun bermain-main saat pelajaran berlangsung.

Di jaman yang serba modern ini kita dituntut untuk terus berpacu menggali ilmu
pengetahuan, kalau kita lengah sedikit saja kita akan tertinggal jauh oleh teman-teman
kita yang terus berpacu menggali ilmu pengetahuan.

Teman-teman yang saya bangggakan, kita semua telah sadar dan menyadari betapa pentingnya pendidikan, semenjak kita duduk di bangku sekolah dari TK, SD sampai sekarang kita akan meninggalkan bangku sekolah SMK ini, banyak sekali ilmu yang kita dapatkan baik itu ilmu pengetahuan umum maupun ilmu agama, dari yang tidak tau kita bisa tahu, dari yang tidak mengerti kita bisa mengerti. Untuk itu dalam kesempatan yang baik ini perkenankan saya untuk menyampaikan ucapan rasa syukur kehadirat Allah SWT. Dan ucapan terima kasih yang tiada terhingga kepada Bapak dan Ibu Guru dimana beliau tidak ada bosan-bosannya untuk terus menerus mengingatkan kepada kita untuk rajin belajar dan belajar. Dengan dorongan itu Alhamdulillah kini kita memetik hasilnya.

Dengan selalu memohon ampun dan Ridho-Nya semoga apa yang kita cita-citakan
Allah SWT mengabulkannya. Amin ya Rabal Alamin.

Demikianlah yang bisa saya sampaikan pada kesempatan yang baik ini
apabila ada kekurangan dan tutur kata yang kurang berkenan saya mohon maaf.

Wabillahitaufik   Walhidayah
Wassalamualaikum Wr. Wb.

Read More

168 WNI calon haji paspor Filipina boleh pulang, 9 masih ditahan

Dari 177 warga negara Indonesia yang ditahan pihak imigrasi Filipina karena memakai paspor negara itu untuk naik haji, sebanyak 168 WNI sudah bisa dipulangkan ke Indonesia.

Hal ini merupakan hasil pertemuan antara tim Kementerian Luar Negeri Indonesia dengan Kementerian Kehakiman Manila.

"Dari pertemuan pukul dua itu, hasilnya 168 sudah bisa diproses meninggalkan Manila untuk pulang ke Indonesia," ujar Menlu Retno kepada para awak media di Gedung DPR, Jakarta
Sementara itu, mantan Duta Besar Indonesia untuk Belanda ini menjelaskan, sisa WNI yang berjumlah sembilan orang ditahan oleh pihak Filipina untuk proses investigasi lebih lanjut. Meski demikian, mereka diperbolehkan untuk tetap tinggal di fasilitas milik KBRI Manila.

"Yang sembilan untuk sementara tetap tinggal di Manila karena masih diperlukan beberapa informasi. Tapi bagusnya adalah selama proses pendalaman lebih lanjut di mana mereka perlu informasi dari sembilan WNI ini maka mereka diperbolehkan, diizinkan tinggal di fasilitas milik KBRI," sambung Menlu Retno.

Pemulangan segera 177 WNI ini diperintahkan langsung oleh Presiden Filipina Rodrigo Duterte. Siang tadi, Duterte memerintahkan anak buahnya untuk segera memulangkan para WNI yang jadi korban kasus haji ilegal, hal tersebut tentunya menjadi kabar baik bagi Indonesia.

Para WNI tersebut hingga kini sudah berada di KBRI Manila. Mereka sudah mendapat bantuan seperti obat-obatan dan makanan.

Read More

Matematika

Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

1) Permutasi 
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga 
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri 

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi 
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , 

Contoh :
Diketahui himpunan  .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri 

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian 
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian 
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus : 

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan 
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian 
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian 
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku : 

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan  dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas 
Untuk setiap kejadian berlaku  Jika  . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat 
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika  adalah peluang terjadinya A dan B, maka  Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes 
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini : 

5. Kejadian saling bebas Stokhastik 
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. 
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom 
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan 
Rumus ini dinyatakan sebagai:
 untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan 

P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal

Read More